☛ Sens de variation de la fonction carrée - Démonstration

Énoncé

On considère la fonction carrée : c'est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par\(f(x)=x^2\).
1. L'objectif de cette question est de démontrer que la fonction carrée est croissante sur \([0;+\infty[\).
    a. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels. Montrer qu'on a \(f(b)-f(a)=(b-a)(b+a)\).
    b. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(0\leq a<b\). Montrer qu'on a \(f(b)-f(a)\geq0\).
    c. Conclure.
2. Démontrer que la fonction carrée est décroissante sur l'intervalle \(]-\infty;0]\).
5. En déduire le tableau de variations de \(f\).
6. La fonction carrée possède t-elle des extremums sur \(\mathbb{R}\) ?

Solution

1. a. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels distincts. On a : \(f(b)-f(a)=b^2-a^2=(b-a)(b+a)\), d'après la troisième identité remarquable.
    b. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(0\leq a<b\). On sait que :

• \(a\geq 0\) et que \(b\geq 0\) donc \(a+b\geq 0\)
  
• \(b>a \Leftrightarrow b-a>0\)
  

Donc \((b-a)(b+a)\) est positif, comme produit de deux nombres positifs.
\(f(b)-f(a)=(b-a)(b+a)\geq0\)
    c. On vient de montrer que, pour tous réels positifs \(a\) et \(b\) tels que \(a<b\) , on a \(f(a)\leq f(b)\). Ceci prouve que la fonction carrée est croissante sur l'intervalle \([0;+\infty[\).

2. On reprend le même raisonnement que dans la question précédente. Comme \(a\leq0\) et \(b\leq0\), on obtient \(a+b\leq 0\) (car la somme de deux nombres négatifs est un nombre négatif).
Et \(a<b \Leftrightarrow b-a>0\).
Donc \((b-a)(b+a)\) est négatif, comme produit de deux nombres de signes contraires.
\(f(b)-f(a)=(b-a)(b+a)\leq0\)
​​​​​​On vient de montrer que, pour tous réels négatifs \(a\) et \(b\) tels que \(a<b\), on a \(f(a)\geq f(b)\).
Ceci prouve que la fonction carrée est décroissante sur l'intervalle \(]-\infty;0]\).
5. Voici le tableau de variations de la fonction carrée.

6. La fonction carrée admet un minimum sur \(\mathbb{R}\) qui est \(0\) et il est atteint en \(x=0\).
Elle n'admet pas de maximum sur \(\mathbb{R}\).